Берется 3000 натуральных чисел n, n+1, n+2, ... . n+2999.
Докажите, что найдется такое n, что среди указанных чисел найдется РОВНО 17 простых

Банально. Берем и двигаем. Было много в какой-то момент будет мало (даже 0). На каждом шаге количество простых будет или увеличиваться на 1 или уменьшаться или оставаться 0. В промежутке будет и ровно 17.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_распределения_простых_чисел

(1) молодец. Но вдруг мало не будет?

кажется если взять произведение первых 30-21 простых то диапазон будет

31*

типа 10 логарифм

Решето Эратосфена или функция Эйлера? Какой тут алгоритм?

(3) будет, согласно (2)

(1) ноль точно будет, достаточно взять последовательность:

3001!+2, 3001!+3, 3001!+4, ..., 3001!+3001

она не содержит простых чисел